Tá arrastando mano

2025-12-17 · updated 2025-12-17 · ReBot pt read in english

O arrasto aerodinâmico não é só relevante na arma de um undercutter, é o fator limitador. Derivando a velocidade real da barra, comparando 4S com 6S, e descobrindo onde a relação volt-pra-rpm para de pagar.

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Nesse assunto de constraints e limitações, eu comecei a procurar como saber o limite real de velocidade que uma arma pode assumir dada sua geometria e a potência do motor que usamos, já que certamente não é tão simples quanto dizer que

rpm_{arma} = K_v \cdot V

O ponto desse post é mostrar que o arrasto é sim relevante quando começamos a girar as coisas muito rápido, especialmente quando essa coisa tem uma grande área de superfície, como a barra de um undercutter. Essa info vai ser relevante pra evitar um sobredimensionamento do motor da arma, e talvez seja essencial pra definir a tensão da bateria. Vamos lá.

Reta de torque do motor

Considerando que o torque é proporcional à velocidade do motor, podemos definir a reta de torque em um motor elétrico assim:

\tau(\omega) = \tau_{stall} \cdot \left(1 - \frac{\omega}{\omega_{vazio}}\right)

Beleza, já temos uma equação que define o torque no eixo dada uma velocidade, em função de duas constantes. Em geral o torque de stall e a velocidade em vazio do motor são valores dados pelo fabricante, mas partindo do princípio que só temos KV (rpm/v) como informação, dá pra encontrar todos os valores só com o KV:

\omega_{vazio} = V_{bat} \cdot K_v

\tau_{stall} = K_t \cdot I_{stall}

Sendo que $K_t$ pode ser encontrado através de:

K_t = \frac{1}{K_v^{rad/s}} = \frac{1}{K_v \cdot \frac{\pi}{30}} = \frac{9.55}{K_v}

Arrasto na barra

Olhando para o arrasto, temos a equação da força de arrasto $F$ :

F = K \cdot \rho \cdot v^2 \cdot h_{barra} \cdot r

Porém isso é pra um retângulo se movendo linearmente, e nesse caso a barra gira. Considerando um trecho infinitesimal da barra (sim, nós vamos fazer isso):

dF = C_d \cdot \rho \cdot (\omega \cdot r)^2 \cdot h_{barra} \cdot dr

d\tau = r \cdot dF = C_d \cdot \rho \cdot \omega^2 \cdot r^3 \cdot h_{barra} \cdot dr

Pra a barra, integramos:

\tau_{drag} = \int_{0}^{R} \frac{1}{2} \rho \cdot C_d \cdot h \cdot \omega^2 \cdot r^3 \, dr

\tau_{drag} = \frac{1}{8} \rho \cdot C_d \cdot h \cdot \omega^2 \cdot R^4

Isso é pra uma única “pá”. Pra uma arma assimétrica com $r_{dente}$ pro raio do dente e $r_{cp}$ pro raio do contrapeso, o arrasto em função da velocidade fica:

\tau_{drag}(\omega) = \frac{1}{8} K \rho h (r_{dente}^4 + r_{cp}^4) \cdot \omega^2

Pra encurtar, vamos chamar aquele trambolho ali de constante de sistema $K_s$ :

\tau_{drag}(\omega) = K_s \cdot \omega^2

Velocidade terminal

Dado que temos o torque do motor e o torque resultante do arrasto, podemos estabelecer a equação que encontra a velocidade terminal da barra igualando um ao outro (note que esta medida ainda será maior que a final, porque não estamos considerando perdas do sistema por atrito):

\tau_{drag} = \tau_{motor}

\tau_{stall} - \frac{\tau_{stall}}{\omega_{vazio}} \cdot \omega_{real} = K_s \cdot \omega_{real}^2

Finalmente, podemos escrever a equação do $\omega_{real}$ :

\omega_{real} = \frac{-\left(\frac{\tau_{stall}}{\omega_{vazio}}\right) + \sqrt{\left(\frac{\tau_{stall}}{\omega_{vazio}}\right)^2 + 4 \cdot K_s \cdot \tau_{stall}}}{2 \cdot K_s}

Onde:

K_s = \frac{1}{8} \rho C_d h \left(r_{dente}^4 + r_{cp}^4\right)

Plugando valores

Beleza, vamos travar tudo como constante e dar uma olhada na função $N_{real}(N_{vazio})$ , onde $N$ é o número de RPMs. Pra não precisar inventar valores demais, vou considerar o projeto com um motor iFlight XING 2814 880KV. Escolhi esse motor porque é próximo do que o pessoal do TPU usa (com mais KV, mas pensando em abaixar porque não sentiu falta):

Barra retangular, $C_d \approx 1.2$
$r_{dente} = 0.14$ m
$r_{cp} = 0.04$ m
$h = 0.015$ m
$\tau_{stall} = K_t \cdot I_{stall} = K_t \cdot \frac{V_{batt}}{R_{int}}$ $τ_{s t a l l} = K_{t} \cdot I_{s t a l l} = K_{t} \cdot \frac{V _{ba tt}}{R _{in t}}$
- $\tau_{4S} = 3.57$ N·m
- $\tau_{6S} = 5.35$ N·m
$\omega_{vazio,4S} = 1438$ rad/s
$\omega_{vazio,6S} = 2156.4$ rad/s
$\rho = 1.225$ kg/m³

Conversando com outro combateiro depois de publicar isso, ele apontou que minha conta original do $K_s$ tava chutando um valor 2x maior do que a fórmula realmente entrega. Refazendo:

K_s = \frac{1}{8} \cdot 1.225 \cdot 1.2 \cdot 0.015 \cdot (0.14^4 + 0.04^4) \approx 1.066 \cdot 10^{-6}

Então é com esse $K_s$ que vamos seguir, e é o que o gráfico abaixo está plotando. A conclusão qualitativa não muda (o arrasto ainda é o que dita o jogo), mas os números absolutos sim.

RPM real da arma sob arrasto, 4S vs 6S

geometria

raio do dentemm

raio do contrapesomm

altura da barramm

ponto de operação

throttle%

RPM real 4S9,594 rpm

RPM real 6S12,994 rpm

6S / 4S1.35×

K_s1.066e-6

O ponto principal aqui é o seguinte:

A velocidade na barra cai exponencialmente com a velocidade em vazio. A relação tá longe de linear, e um projeto eficiente deve evitar a zona de diminishing returns.
O ganho de 6S existe, e existe forte. Primeiro, conseguimos operar perto do regime do 4S usando uma fração bem menor do throttle do 6S. Mexa no slider de throttle no gráfico pra ver onde elas se cruzam: tem uma margem grande pra operar abaixo do limite. Segundo, isso me dá um spinup absurdamente mais rápido. Pra ficar perigoso eu não preciso mais do spinup to 100, spinup to 50 já me deixa perigoso, daí pra frente é algo que o mesmo robô em 4S jamais conseguiria fazer. Terceiro, a discrepância só cresce conforme a arma se torna menos aerodinâmica, ou seja: idealmente, quanto maior a barra e menos aerodinâmica, mais vantagem em utilizar 6S.

Onde quero chegar

Meu ponto desde que comecei a pesquisar e trabalhar neste post era apontar que algo que desconsideramos na Thunder desde que me entendo por gente, e na graduação desde sempre, esse famigerado arrasto, é algo que na verdade afeta E MUITO nos combates, especialmente quando eles são menores e giram a barra rápido. Na verdade, o arrasto se torna O fator limitador da arma, nosso upper bound, por isso devemos projetar a geometria inteira considerando ele e as implicações que isso tem na elétrica.

Não tô falando de fazer a arma antes da eletrônica do projeto, longe disso, mas com essa noção já dá pra entender o que o motor vai conseguir fornecer pra um robô de arma parecida com a que queremos.

Coda: redução

Depois de publicar, o mesmo amigo que catou o erro no $K_s$ apontou outra coisa que eu tinha deixado fora: a equação acima assume motor direto no eixo da arma. Se você coloca um fator de redução $n$ na conta, a velocidade terminal da barra vira função desse $n$ , e existe um ótimo, ou seja, há uma redução que maximiza a velocidade real da arma considerando o arrasto. No caso dele, com os valores acima, esse ótimo ficou perto de $n = 0.77$ . Em outras palavras: pra essa geometria, aumentar a velocidade da arma com um redutor é teoricamente vantajoso.

Vou explorar isso num post separado, porque é cabeludo o suficiente pra merecer.